UNIDAD 2 FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD

2.1 CONJUNTO Y TECNICAS DE CONTEO. Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos con características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado. Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente: • La colección de elementos debe estar bien definida. • Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez. • El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia. • El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.

TIPOS DE CONJUNTOS CONJUNTO VACIÓ O NULO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por Ø o { }. A = {x2 + 1 = 0 | x _ R} El conjunto A, es un conjunto vacío por que no hay ningún número real que satisfaga a x2+1 = 0 CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U.

2.2 CONCEPTO CLASICO Y COMO FRECUENCIA RELATIVA. Concepto clásico Está basado en el concepto de resultados igualmente verosímiles y motivado por el denominado Principio de la Razón Insuficiente, el cual postula que si no existe un fundamento para preferir una entre varias posibilidades, todas deben ser consideradas equiprobables. Así, en el lanzamiento de una moneda perfecta la probabilidad de cara debe ser igual que la de cruz y, por tanto, ambas iguales a 1/2. De la misma manera, la probabilidad de cada uno de los seis sucesos elementales asociados al lanzamiento de un dado debe ser 1/6. Frecuencia relativa La frecuencia absoluta, es una medida que está influida por el tamaño de la muestra, al aumentar el tamaño de la muestra aumentará también el tamaño de la frecuencia absoluta. Esto hace que no sea una medida útil para poder comparar. Para esto es necesario introducir el concepto de frecuencia relativa, que es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. La denotaremos por fi. Donde N = Tamaño de la muestra

2.3 ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS. Espacio muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω). Por citar un caso a modo de ejemplo concreto: si la prueba se basa en arrojar un dado, el espacio muestral estará constituido por los puntos muestrales identificados como los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, ya que esos son los resultados posibles de la acción de tirar el dado. Por lo tanto, se puede establecer que el espacio muestral del experimento es U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Los espacios muestrales pueden clasificarse como discretos (cuando la cantidad de sucesos elementales es finito o numerable) o continuos (en los casos en los cuales la cantidad de sucesos básicos posee carácter infinito y, por lo tanto, resulta imposible de contar). Tipos de eventos Un evento se denomina cierto si ocurre siempre, siendo igual al espacio muestral. Por lo tanto su probabilidad es 1. Un evento se denomina imposible si no puede ocurrir. Por lo tanto, su probabilidad es 0. Dos eventos se denominan complementarios cuando su unión da el espacio muestral y su intersección es vacía. La suma de las probabilidades de dos eventos complementarios es igual a 1. Se denomina Ac al evento complementario del evento A. Por ejemplo, la probabilidad de obtener un múltiplo de 3 al tirar un dado es , y la probabilidad de no obtener un múltiplo de 3 será de 2/3

 2.4 AXIOMAS Y TEOREMAS. Axioma. Un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las consideradas «verdades evidentes» porque permiten deducir las demás fórmulas.
EJEMPLOS: Axiomas básicos 1- El espacio tiene infinitos puntos, rectas y planos. 2- El plano tiene infinitos puntos y rectas. 3- La recta tiene infinitos puntos. 4- Por un punto pasan infinitas rectas. 5- Por una recta pasan infinitos planos. Los axiomas son ciertas fórmulas en un lenguaje que son universalmente válidas, esto es, fórmulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable. Teoremas. Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Demostrar teoremas es un asunto central en la matemática. Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre la hipótesis y la tesis o conclusión. 2.4 EJEMPLO: Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo el cuadrado del lado más largo (la “hipotenusa”) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos). Se establece en esta fórmula: a2 + b2 = c2

2.5 PROBABILIDAD CLASICA ESPACIO FINITO EQUIPARABLE. La probabilidad clásica El enfoque clásico o a priori de la probabilidad se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles. Empleando el punto de vista clásico, la probabilidad de que suceda un evento se calcula dividiendo el número de resultados favorables, entre el número de resultados posibles. Espacios finitos equiprobables Una de las suposiciones más usadas, cuando se calculan las probabilidades de eventos de un espacio muestral finito U, es afirmar que cada punto muestral de U tiene un mismo valor de probabilidad. Dicho de otra forma, si U consta de n elementos, entonces la probabilidad de cada uno de ellos es 1 / n . A estos espacios muéstrales se les denomina espacios finitos equiprobables (o uniformes).

2.6 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDIENTE. Probabilidad condicionada Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P (A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B. No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos. Probabilidad independiente Dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es igual al producto de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos, es decir, si A y B son dos sucesos, y P(A) y P (B) son las probabilidades de que ocurran respectivamente entonces:

2.7 TEOREMA DE BAYES. La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura permite el calculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades aposteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento). Sea un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales . Entonces, la probabilidad viene dada por la expresión: Donde: Son las probabilidades a priori. Es la probabilidad de en la hipótesis . Son las probabilidades a posteriori. Ejemplo. Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a las que se les denomina A, B y C. La máquina A produce tabique, la B adoquín y la C losetas. La máquina A produce el 50% de la producción total de la fábrica, la B el 30% y la C el 20%. Los porcentajes de artículos defectuosos producidos por las máquinas son, respectivamente, 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar y se observa que es defectuoso, encontrar la probabilidad de que sea un tabique. Solución Definamos el evento D como sea un artículo defectuoso. De acuerdo a esto tenemos que: P(A) = 0.5 P(D | A) = 0.03 P(B) = 0.3 P(D | B) = 0.04 P(C) = 0.2 P(D | C) = 0.05 Si el artículo del que deseamos calcular la probabilidad es un tabique, significa que es producido por la máquina A. También observamos que en la solución solamente participan los artículos defectuosos, ya que se pone por condición esta característica. Por lo tanto:

 2.8 DISTRIBUCION MARGINAL CONJUNTA. Tengo dos variables aleatorias: X= (1,2,1) Y= (2,1,1) ¿Cómo se calcularían la distribución de probabilidad conjunta y la distribución de probabilidad marginal? Supongo que los dos conjuntos de valores X=(1,2,1) Y=(2,1,1) Representen los resultados de tres mediciones de las dos variables X, Y, y que los resultados vayan en pares, o sea: X = 1 con Y = 2 X = 2 con Y = 1 X = 1 con Y = 1 Como cada par de mediciones aparece 1 vez entre 3, la probabilidad conjunta es 1/3 por cada par (1, 2), (2, 1) y (1, 1), mientras el cuarto par posible, o sea (2, 2) tiene probabilidad 0. La distribución conjunta es entonces X\Y 1 2 ---------------- 1 | 1/3 1/3 2 | 1/3 0 Las distribuciones marginales son las distribuciones separadas de X e Y, y se obtienen de la tabla conjunta sumando las probabilidades por lineas horizontales y verticales: X P(X) 1 2/3 2 1/3 Y P(Y) 1 2/3 2 1/3


BIBLIOGRAFIA. http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r48023.PDF http://probabilidadestadistic.blogspot.mx/2010/09/tecnicas-de-conteo.html http://yakoto.tripod.com/orochi/concepto_clasico.htm http://www.monografias.com/trabajos69/teoria-elemental-probabilidad/teoria-elemental-probabilidad.shtml http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0278-01/probab2.html http://www.ditutor.com/probabilidad/espacio_muestral.html http://definicion.de/espacio-muestral/ http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo2/B0C2m1t1.htm http://www.slideshare.net/neneantrox/22-probabilidad-de-aventos http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=137622 http://www.roberprof.com/2009/08/16/axiomas-y-teoremas/ http://geometriaytrigonometria.wordpress.com/2011/05/09/3-teorema-axioma-corolario/ http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/Probabilidad/doc/Unidad%201/1.3.5.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bayes http://colimp.blogspot.mx/2010/09/probabilidad-condicional-e.html